domingo, 9 de noviembre de 2014

FISICA ll cinematica



                                                ¿QUE ES CINEMATICA?
La cinemática es una rama de la física dedicada al estudio del movimiento de los cuerpos en el espacio, sin atender a las causas que lo producen (lo que llamamos fuerzas). Por tanto la cinemática sólo estudia el movimiento en sí, a diferencia de la dinámica que estudia las interacciones que lo producen. El analisis vectorial es la herramienta matemática más adecuada para ellos.



  • MOVIMIENTO RECTILÍNEO 



MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME


v = v_0 = \text{const.} \,
x = v_0 \, t + x_0

En este movimiento la velocidad permanece constante y no hay una variación de la aceleración (a) en el transcurso del tiempo.
PROBLEMA: 
Un automóvil se desplaza con una rapidez de 30 m por segundo, con movimiento rectilíneo uniforme. Calcule la distancia que recorrerá en 12 segundos.
Analicemos los datos que nos dan:
movimiento_R_004
Apliquemos la fórmula conocida:
movimiento_R_005  y reemplacemos con los datos conocidos:


MOVIMIENTE RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

a = a_0 = \text{const.} \,
v = v_0 + at \,
x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2
v^2 = v_0^2 + 2a(x_f-x_0) \,


 En éste movimiento la aceleración es constante, por lo que la velocidad de móvil varía linealmente y la posición cuadráticamente con tiempo. Las ecuaciones que rigen este movimiento son las siguientes:Donde es la posición inicial del móvil, es la posición final y su velocidad inicial, aquella que tiene para .
Obsérvese que si la aceleración fuese nula, las ecuaciones anteriores corresponderían a las de un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante.Dos casos específicos de MRUA son la caída libre y el tiro vertical. La caída libre es el movimiento de un objeto que cae en dirección al centro de la Tierra con una aceleración equivalente a la aceleracion de la gravedad (que en el caso del planeta tierra al nivel del mar es de aproximadamente 9,8 m/s2). 
 

PROBLEMA:






Calcula la distancia recorrida por un móvil que parte de reposo y alcanza una velocidad de 52 Km/h en 5 segundos.
Usaremos la formula:
D = Vi . T +/- ½ . a . T2
Tenemos como datos la velocidad final y el tiempo. Como el móvil parte del reposo su velocidad inicial es 0, por lo tanto el primer termino se anula.
D = + ½ . a . T2
El signo de la aceleración queda positivo ya que la velocidad aumenta de 0 al valor final de 52 Km/h.
La aceleración no la tenemos pero la podemos calcular. Para esto será conveniente previamente pasar la unidad de velocidad de Km/h a mts/seg para que sea compatible con el tiempo que est expresado en segundos.

Ahora procedemos a calcular la aceleración:

D = + ½ . 2,89 mts/seg2 . (5 seg)2
D = 36.125 mts.
movimiento_R_006


  • MOVIENTO PARABOLICO


v_{0x} = v_0 \cos \theta_0 \
v_{0y} = v_0 \sin \theta_0 \      


Es un tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un angulo con la horizontal. Devido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleracion constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenia al principio y despues aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se puede analisar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parabola.
Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que el eje x como M.R.U.
En eje x :
V=cte
a=0
en eje y:
a=g
Vo no es igual a cero 
Tiro oblicuo: es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componente en los ejes x e y, en el eje y se comporta como caida libre, mientras que en el eje x como MRU
En eje x:
V=cte
a=0
En eje y :
a=g
Vo=0

PROBLEMA: 

Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:

a) La altura máxima.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) La distancia a la que llega al suelo.
d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado

Datos
Ángulo = 37°
a) Ymax = ?
d) Vx =?
Vo = 20m/s
b) t total = ?
Vy = ?
g= -9.8 m/s^2
c) X = ?


Paso 1

Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s
Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s

Paso 2

Calcular el tiempo de altura máxima , donde Voy = 0
Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.

Paso 3
Calcular a) la altura máxima:
Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38m

Paso 4
Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura máxima.
T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.

Paso 5
Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta formula:
X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.
Paso 6
Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s
Vfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante durante todo el movimiento.

  • MOVIMIENTO CIRCULAR 

Es cuando la trayectoria de un cuerpo gira alrededor de un eje, sus puntos describen trayectorias circulares en los planos perpendiculares al eje. 
caracteristicas:
  • Eje de giro : es la línea recta alrededor de la cual se realiza la rotación, este eje puede permanecer fijo o variar con el tiempo pero para cada instante concreto es el eje de la rotación (considerando en este caso una variación infinitesimal o diferencial de tiempo). El eje de giro define un punto llamado centro de giro de la trayectoria descrita (O).
  • Arco: partiendo de un centro fijo o eje de giro fijo, es el espacio recorrido en la trayectoria circular o arco de radio unitario con el que se mide el desplazamiento angular. Su unidad es el radian (espacio recorrido dividido entre el radio de la trayectoria seguida, división de longitud entre longitud, adimensional por tanto).
  • Velocidad angular : es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo (omega minúscula, ).
  • Aceleracion angular: es la variación de la velocidad angular por unidad de tiempo (alfa minúscula, ).
ELEMENTOS: 
Desplazamiento angular
Arco angular o desplazamiento angular es el arco de la circunferencia recorrido por la masa puntual en su trayectoria circular, medido en radianes y representado con la letras griegas [img> (phi) o (theta). Este arco es el desplazamiento efectuado en el movimiento circular y se obtiene mediante la posición angular ( ó ) en la que se encuentra en un momento determinado el móvil y al que se le asocia un ángulo determinado en radianes.
\Delta\varphi = \varphi_f - \varphi_o \qquad \mbox{ó} \qquad \Delta\theta = \theta_f - \theta_o
Siendo \Delta\varphi ó \Delta\theta el arco angular o desplazamiento angular dado en radianes.

Velocidad angular y velocidad tangencial
  Velocidad angular es la variación del arco angular o posición angular respecto al tiempo. Es representada con la letra [img> (omega minúscula) y viene definida como:
\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\varphi_f - \varphi_o}{t_f - t_o} \qquad \mbox{ ó } \qquad \omega = \frac{d \varphi}{d t}


Velocidad tangencial :  de la partícula es la velocidad del objeto en un instante de tiempo (magnitud vectorial con módulo, dirección y sentido determinados en ese instante estudiado). Puede calcularse a partir de la velocidad angular. Si es el módulo la velocidad tangencial a lo largo de la trayectoria circular de radio R, se tiene que:
                                                                       Vt=w
Aceleración angular y tangencial
La aceleracion angular es la variación de la velocidad angular  por unidad de tiempo y se representa con la letra: y se la calcula:
\alpha = \frac{d \omega }{d t}

Si at es la aceleracion tangencial , a lo largo de la circunferencia de radio R, se tiene que:
a_t = R \, \alpha \;

Periodo
El periodo indica el tiempo que tarda un móvil en dar una vuelta a la circunferencia que recorre. Se define como:
T=\frac{2\pi}{\omega}

Frecuencia 
La frecuencia es la inversa del periodo, es decir, las vueltas que da un móvil por unidad de tiempo. Se mide en hercios o s-1
f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}


 M.C.U.
 
Ángulo y velocidad angular
El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio.
La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π radianes.
La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo: 
ω=dφdt
Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático.

Posición

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes (O;i,j). La posición de la partícula en función del ángulo de giro φ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano x,y:

x=rcosφ
y=rsinφ

1 vuelta = 360° = 2 π radianes
½ vuelta = 180° = π radianes
¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial
La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:
v=dr/dt=−rωsin(ωt)i+rωcos(ωt)j
La relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es:
v=|v|=(x=rcosφy=rsinφ=ωr
El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar r⋅v y comprobando que es nulo.
Aceleración
La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:
a=dv/dt=−rω2cos(ωt)i−rω2sin(ωt)j
de modo que
a=−ω2r
El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad v de la partícula, ya que, en virtud de la relación v=ωr, resulta
a=ω2r=v2/r

x=rcosφy=rsinφ

PROBLEMA:

Una bola de 0,5 kg. De masa esta unida al extremo de una cuerda cuya longitud es 1,5 metros. La figura 6.2 muestra como gira la bola en un círculo horizontal. Si la cuerda puede soportar una tensión máxima de 50 Newtom, Cual es la velocidad máxima que la bola puede alcanzar antes de que la cuerda se rompa?
Solución Como en este caso la fuerza central es la fuerza T ejercida por la cuerda sobre la bola
Despejando v
v = 12,24 m/seg.
Ejercicio Calcule la tensión en la cuerda si la rapidez de la bola es 5 m/seg.
T = 8,33 Newton

 
M.C.U.V.

se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.
En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P1 a P2 sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleracion tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.

posición Dibujo de la posición de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:


 Fórmula del ángulo recorrido por una partícula dependiendo del tiempo en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Aplicando la fórmula del incremento de ángulo calculamos la posicion en la que estará la partícula pasado un tiempo t se obtiene la fórmula de la posición:


 Fórmula de la posición de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

velocidad angular

La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo tanto, podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:


 Fórmula de la velocidad angular de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
El sentido de la aceleracion angular  α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleracion angular  es negativa, seria un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

velocidad tangencial

La velocidad tangencial es el producto de la  por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:


 Fórmula de la velocidad tangencial de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)
Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior.

aceleraracion angular
La aceleracion angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular  ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.


 Fórmula de la aceleracion angular de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

ACELERACION TANGENCIAL 
La aceleracion tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.


Fórmula de la aceleracion tangencial de una partícula en un movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)

aceleracion centripeta 
La aceleracion centripeta en el MCUV se halla mediante:


 Fórmula de la aceleración centrípeta en el movimiento circular uniformemente acelerado(MCUA)


EJEMPLO:
Un carro de juguete que se mueve con rapidez constante completa una vuelta alrededor de una pista circular (una distancia de 200 metros) en 25 seg.
a) Cual es la rapidez promedio?
b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo?
a) Cual es la rapidez promedio?

b) Si la masa del auto es de 1,5 kg. Cual es la magnitud de la fuerza central que lo mantiene en un circulo? L = 200 metros = 2 π r
Despejamos el radio

F = 3,01 Newton


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